新版本見：Gia

概要：

概形（scheme）就是局部為affine scheme的幾何空間，但數學家額外要求了一些局部性質；于此同時，affine scheme也是最簡單的scheme。這篇文章的目標就是定義一般代數幾何中scheme的概念。

目錄：層sheaf局部性local概形scheme附錄

名詞對照：（取自http://zh.wikipedia.org）環 -- ring局部環 -- local ring（局部）賦環空間 -- (locally) ringed space （這個翻譯太誤導了）概形 -- scheme層 -- sheaf截面，莖 和 芽 -- section，stalk 和 germ同態 -- homomorphism （指代數結構之間的映射。我不喜歡這個翻譯）態射 -- morphism （指幾何空間之間的映射。我也不喜歡這個翻譯）同構的 -- isomorphic （指代數結構、幾何空間都使用）

“上回書說到”:復代數幾何：affine schemeGia

正文：

想要定義概形（scheme），我們需要挖掘出層（sheaf）的一些其他性質。

首先就是sheaf上面函數集合的代數結構。

在上一篇文章中，我定義了“函數的集合”的sheaf?？紤]affine -scheme（或者復流形）的開集上的函數集上的兩個函數，我們可以定義它們的加法和乘法，

（本身是-algebra）

我們也可以定義數乘，對于復數，

所以，本身也構成一個-algebra，因此可以被稱為“函數的-algebra”的sheaf。

對于更一般的affine scheme，只考慮考慮函數的加法和乘法，我們可以定義“函數的ring”的sheaf。

不管在代數幾何還是微分幾何中，我們考慮的sheaf一般都是ring的sheaf；如果是非交換幾何，我們會考慮“不交換的ring”的sheaf。

“這一天……到來了呀?！碑斘覀兛紤]比affine scheme更一般的scheme的時候，就很難再說諸如“sheaf上的函數”這樣的話了，我們很快就會看到具體例子，廣義函數：“到我了嗎……”

廣義函數也不夠“廣義”了啊。那如果是“廣義的廣義函數”呢，或者“廣義的廣義廣義函數”呢？

不開玩笑，我相信我們是有辦法通過推廣函數的定義來解決這個問題的，但是這幾天我并沒有想出來。如果有讀者在哪本書看到過，能告訴我嗎？萬分感謝。等我解決它，我會另起一篇文章的。

為了解決這個問題，我們只能忘記“函數”，開始思考抽象的“ring的sheaf”。

在繼續該概念的定義之前，讓我們明確一下本文中的ring是什么，一個ring是交換的（代數幾何一般表示交換代數幾何）；一個ring包含乘法單位元，記作1；存在一個特殊的ring，被稱為零ring，記作；其中，這個ring只有一個元素；對于ring 和ring ，它們之間的一個ring同態要求把的射到的，的射到的。

特別的，我們有，所以空集也是一個affine scheme。

那么現在我們可以定義，對于拓撲空間，其上一個“ring的sheaf” 是一個“集合的sheaf”【注】，滿足對任意的開集，是一個ring對空集，

【注】：抽象的sheaf中的限制函數（restriction map）需要額外滿足我在文章affine scheme的附錄中提到的那兩條性質。

對空集的限制使得“顯然”的成為任何scheme的“子”空間了。

這里定義一個新的名稱，用來取代“函數”（不過我依然會使用一樣的符號）對的一個開集，的元素被稱為上的一個截面（section）【注】；特別的，上的截面被稱為全局截面（global section）。

【注】：在微分幾何里會定義叢的section，和這個有關聯但是差別不小，甚至有點撞符號，我本意是想避開這個詞語的。

section是定義在一個開集上的，不過我們也可以考慮“一個點處的section”，被稱為germ。

回顧一下ring的sheaf 的定義：對于拓撲空間，取一個開集，是一個ring。

一般來說，對于空間中的一個點，不一定是一個開集，所以我們沒有定義過是什么。

對于任意的子集（不一定是開集），我們可以定義

讀者：/-:(_@】&》#+\，￥$我：誒嘿。

沒事，我也看不懂，這是代數里面的direct limit（大概譯作順極限），依賴于ring的結構。讓我們來點簡單的，以affine scheme為例。

我們考慮開集，和其上的一個函數，記作；考慮所有滿足開集包含的的集合，記作

在這個集合中定義一個等價關系，當且僅當

（注意，代數幾何里函數的“相等”是要求形式一樣的，即在中對應同一個元素）

現在我們可以定義

讀者可以試著證明一下這也是一個ring；特別的，如果本身是個開集，那么兩種定義是一致。

其實代數幾何里應該只會考慮單點的情況，即當時；此時我們有一條簡化的符號，

被稱為sheaf 在處的莖（stalk），同時其中的元素記作，

即，任何一個定義在附近的函數，都能在里找到它對應的元素，被稱為函數在處的芽（germ）。

如果把“函數”換成“section”，這個定義就很自然的切換到抽象的sheaf上了。

對于同一個空間上的兩個ring的sheaf ，一個sheaf morphism 滿足，對中任意一開集，有ring同態

和限制映射交換，即對任意兩開集，，滿足

對于一個sheaf morphism ，取上一點，我們可以定義

讀者可以試著證明一下這個定義是有意義的。

如果存在逆映射，使得對每個開集，

（即每個都是在ring意義下的逆映射）

那么就被稱為sheaf isomorphism，而和稱為isomorphic的，記作

考慮幾何空間和拓撲空間，我們有一個連續函數，通過它能在上定義一個sheaf，名為，滿足，對任意上的開集，

這樣就也是一個幾何空間了；

更近一步的，我們可以通過這種方法，把兩個幾何空間的sheaf，“推”到同一個幾何空間上，再進行比較。

細心的讀者已經發現，sheaf很難寫成“函數的ring”的sheaf了，這也是我在這篇文章中引入抽象sheaf的初衷。

在交換代數里學到局部環（local ring）的時候，我是完全無法理解局部兩字的意義的。但在代數幾何里面我們發現，scheme上某點的局部性質，完全由該點處的局部環所決定。

學代數幾何的話，代數是跑不掉的。

局部環（local ring）是只有一個極大理想（maximal ideal）的ring；用幾何的視角來說，對于local ring ，只有一個閉點，即

對于一個域（field），只有一個點，自然是有且只有一個閉點，所以所有的域都是local ring；

（容我吐個槽，英語里微分幾何的field（場）和代數里的field（域）是同一個單詞，這事就離譜。）

可以想象，有不是域的local ring，也就是說，雖然只有一個閉點，它還可以還有不閉的點，甚至可以有無數個；來看兩個例子，

例子一：，我們有，

例子二：【注】，我們有，

【注】：ring of formal power series of ，未來我應該會講，現在可以跳過。

（這兩個例子看不懂也不影響后續閱讀）例子一中只有一個不閉的點，例子二中有無數個不閉的點。

local ring可以記作。特別的，我們定義從到的local ring同態為一個ring同態，且滿足

局部化（localisation）完整的定義就等讀者自己學習代數的時候再去了解吧，我只講它的一種特殊情況，也是最如其名的情況，在這種情況下，局部化的結果確實是個local ring。

（我在affine scheme那篇文章的附錄中介紹了另一種最常見的局部化）

對于一個ring ，考慮它的一個prime ideal ，我們發現，，

什么意思呢？我們發現的補集是一個包含不包含的，對乘法封閉的集合。

那么，在prime ideal 處的局部化（在點處的local ring）是一個ring，記作；

如果本身是個整環（integral domain），比如整數環，那么可以視作的子集，而且里所有元素都可逆，（是滿足條件最小的ring）；

對于一般的ring，我們在處理掉里所有的零除子（zero divisor）【注】之后，依然可以視作的子集。

【注】：這個話題我會在定義k-variety的時候細談的，不出意外的話就是下一篇代數幾何了。

綜上所述，是一個local ring，唯一的maximal ideal記為。

上面的代數定義確實不大符合我這個系列的風格，現在來看下面這個定理（你也可以把它當成local ring的定義）

對于ring ，考慮，和structure sheaf ，取一點，我們有

什么意思呢？在點的stalk，正好就是在處的局部化。

所以，一個affine scheme本身就是一個locally ringed space （因此是一個scheme，見后文）。

代數的部分到此為止，可以回到scheme的定義了。

幾何空間是一個非常非常寬泛的定義。總所周知，適用范圍（射程）越廣，功能（力量）就越弱。

數學家一般使用的幾何空間是ringed space，更多情況下是更強的locally ringed space。

我們定義，ringed space是一種特殊的幾何空間，它的sheaf是“ring的sheaf”；

locally ringed space是一種特殊的ringed space，它額外要求空間的每個點的stalk都是local ring。

locally ringed space的性質非常好，在這種幾何空間中，每個點都能定義切空間，我很快就會寫到的（大概）。

那么，簡單來說，一個scheme就是一個局部長成affine scheme的locally ringed space。

“局部”是什么意思，“長成affine scheme”又是什么意思呢？

回憶一下，拓撲流形是局部長成的拓撲空間，指的是每個點都能找到一個開集（本身是個拓撲空間）同胚（homeomorphic）于。

自然的，對于一個locally ringed space ，一個開集本身也是一個locally ringed space，它的sheaf為

至于“一樣”，我們需要定義locally ringed space意義下的isomorphic。

isomorphic一般使用可逆的morphism來定義，但我想跳過它，到scheme的morphism再談。

考慮兩個ringed space ，它們是（在ringed space意義下）isomorphic的，意味著存在一個homeomorphism ，使得

其中是的逆函數，它也連續；是上文定義的，定義在上的sheaf；這里是ring意義下的isomorphic。

如果考慮localy ringed space意義下的isomorphic，那么還需要滿足，對任意的上的點，

這兩個映射（定義在sheaf的章節）是local ring isomorphism了。

到此，我們已經成功的定義了什么是scheme了，嚴格的描述是，

一個scheme是一個locally ringed space ，對任意中的點，存在一個開鄰域，作為一個local ringed space

其中是一個ring，是它的structure sheaf。

姍姍來遲的第二篇代數幾何終于完成了。寫到一半的時候突然發現廣義函數已經不足以用來描述scheme，又花了幾天去改。 實際上，在這篇文章動筆的時候我還有很多概念不清楚，畢竟沒有正式的上過課，如果有錯誤希望能指出，十分感謝。 這篇文章的主要參考資料是劉青的《代數幾何和算數曲線》，世界圖書出版公司有國內特供版，十分推薦。未來關于一般代數幾何的內容應該就參照這本書了，不過我應該不會在這里停留太久。