六年級10道變態(tài)難數(shù)學(xué)題圓

圓是初中數(shù)學(xué)中非常重要的一個知識點，是很多高中數(shù)學(xué)知識的基礎(chǔ)。那么，六年級的學(xué)生對于圓的掌握以及解題能力如何呢？接下來，我們就來看一下六年級10道極難數(shù)學(xué)題圓。

題目1：兩個相交的圓A、B的圓心距為24cm，直線AB的長度為15cm，求圓A、B的半徑。

首先，我們可以通過勾股定理求出弦AB與圓心距的關(guān)系：$AB^2=AH^2+BH^2$，其中AH、BH分別為圓A、B的半徑，得出$AH^2+BH^2=225$。另外，根據(jù)圓的性質(zhì)，圓心距為24cm的兩個圓的半徑相等，即$AH=BH$。

將$AH=BH$代入$AH^2+BH^2=225$，得到$2AH^2=225$，即$AH=\sqrt{112.5}$。因此，圓A、B的半徑均為$\sqrt{112.5}$。

題目2：已知正方形ABCD的邊長為6cm，求內(nèi)切于正方形的圓的半徑。

如下圖所示，圓O為正方形ABCD的內(nèi)切圓。連接圓心O與正方形的一個頂點A，得到直角三角形AOD。根據(jù)勾股定理，有$OA^2=OD^2+AD^2$。

由于正方形的特殊性質(zhì)，我們可以得知AD=6cm，而OD = OA - AD/2 = (6-2r)/2，其中r為圓O的半徑。代入勾股定理中，得到：

$$r=\frac{3\sqrt{2}-3}{2}$$

因此，內(nèi)切于正方形ABCD的圓的半徑為$\frac{3\sqrt{2}-3}{2}$ cm。

題目3：以正方形ABCD的一個頂點A為圓心，經(jīng)過對角線BD的交點E，畫一個圓。求圓心到對角線BD的距離。

如下圖所示，圓心為A，交點為E，圓心到對角線BD的距離為AH。

根據(jù)圓的性質(zhì)，圓心到交點E的距離AE等于圓心到線段上任意一點H的距離AH，所以我們只需要求出段BD中點O到頂點A的距離，即可求出AH。

顯然，點O是$√2/2×AB$（AB為正方形的邊長）處，因此$AO=\sqrt{2}×AB/2=3\sqrt{2}$。因為$AH=2AO/3$，所以AH為$2×3\sqrt{2}/3=2\sqrt{2}$。

因此，圓心到對角線BD的距離為2√2 cm。

題目4：如圖，已知兩圓心的距離為6 cm，半徑分別為3 cm和4 cm，求兩個圓的公切線的長度。

如上圖所示，兩個圓的圓心分別為O1和O2，半徑分別為3 cm和4 cm。連接O1O2，得到$\triangle O1O2D$。垂直于O1O2的直線段DE即為兩圓的公切線段。

根據(jù)勾股定理，$\triangle O1O2D$中的OD長為2 cm。同時，由于$\triangle O1OD$和$\triangle O2OD$為等腰三角形，可以得到：

$$O_1D=O_1O_2×\frac{3}{7}=2.57$$

$$O_2D=O_1O_2×\frac{4}{7}=3.43$$

因此，兩個圓的公切線段長為2×DE=2×$\sqrt{O_1D×O_2D}$=4.67 cm。

題目5：兩個正方形互相內(nèi)切，其中一個正方形的對角線長為8 cm，求另一個正方形的對角線長。

如下圖所示，正方形ABCD和正方形EFGH互相內(nèi)切。根據(jù)正方形的性質(zhì)，AC=8cm是正方形ABCD的對角線長度。設(shè)正方形EFGH的對角線長度為x，那么我們需要求解x的值。

首先，由于正方形互相內(nèi)切，所以正方形的四條邊都是相接的。因此，正方形EFGH的一條邊長等于正方形ABCD的一條邊長，即得到：

$$x=\frac{1+\sqrt{2}}{2}×8=\sqrt{32}+4$$

因此，另一個正方形的對角線長為$\sqrt{32}+4$ cm。

題目6：如圖，在等腰三角形ABC中，以角A為圓心，AB為半徑，畫一個圓。求圓切線BC的長度。

我們將問題簡化一下，將等腰三角形ABC旋轉(zhuǎn)一下（如圖），角A為圓心的圓將變?yōu)檎叫危藭r我們很容易求出BC所對的線段長LM。

根據(jù)正方形的性質(zhì)，LM等于ABC的高，所以我們只需要求出ABC的高即可。由于ABC是等腰三角形，所以它的底邊中點D位于圓上，且BD等于AB的一半，即$BD=\dfrac{1}{2}×AB$。根據(jù)勾股定理，得到：

$$BD^2+AD^2=AB^2$$

代入$BD=\dfrac{1}{2}×AB$可得：

$$AD=\sqrt{\dfrac{3}{4}AB^2}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}AB$$

因此，ABC的高BD為$\dfrac{\sqrt{3}}{2}AB$，LM的長度可以通過上述方法求得：

$$LM=\dfrac{\sqrt{3}}{2}AB=\dfrac{\sqrt{3}}{2}BC$$

因此，圓切線BC的長度為$\dfrac{2}{\sqrt{3}}LM=\dfrac{4}{\sqrt{3}}AB$。

題目7：如圖，在直角三角形ABC中，以AC為直徑，畫一個圓。圓與BC交于點D，求BD與DC的長度。

如上圖所示，以AC為直徑的圓和BC相交于點D。設(shè)BD為x，DC為y。

首先，我們可以根據(jù)圓的性質(zhì)得出：

$$AD×DC=BD×CD$$

又因為AC是直角三角形ABC的斜邊，所以有：

$$AD=\sqrt{AB^2+BD^2}$$

$$DC=\sqrt{AC^2-(BD+DC)^2}$$

代入得到的兩個式子，整理可得：

$$\begin{aligned}

x((x+y)^2+AB^2)&=yAC^2\\

x+y&=\sqrt{x^2+y^2}+\sqrt{AC^2-(x+y)^2}

\end{aligned}$$

其中$AB^2=AC^2-BC^2$，將其代入第一個式子得到：

$$x(x+y)^2=xAC^2-BC^2x$$

將它代入第二個式子中，得到：

$$\sqrt{x(x+y)^2+y^2}=\sqrt{xAC^2-BC^2x}+\sqrt{AC^2-(x+y)^2}$$

兩邊平方，化簡得到：

$$y^2=\dfrac{(x-BC^2)^2}{4x}$$

根據(jù)$x+y=AD$可以得到：

$$y=\dfrac{BD×CD}{AD}=\dfrac{xy}{\sqrt{x^2+y^2}}$$

兩邊平方得到：

$$y^2=\dfrac{x^2y^2}{x^2+y^2}$$

帶入前面的式子得到：

$$\dfrac{x(x-BC^2)^2}{4(x^2+y^2)}=\dfrac{x^2y^2}{x^2+y^2}$$

整理可得：

$$x^2-3y^2=\dfrac{3}{4}BC^2$$

因此，BD和DC的長度分別為：

$$BD=\dfrac{\sqrt{3}}{3}BC$$$$DC=\dfrac{\sqrt{6}}{3}BC$$

題目8：如圖，在菱形ABCD中，以BD為直徑，畫一個圓。圓與AC交于點E，求線段DE的長度。

如上圖所示，以BD為直徑的圓與菱形ABCD相交于點E。我們需要求解線段DE的長度。

首先，連接AE。由于AD和BC相等，AC和BD相等，因此$\triangle AED$和$\triangle BEC$是全等的（如下圖所示），可以得到：

$$AE=BC=\dfrac{1}{2}BD$$

因此，$AD=2AE=BD$。由于以BD為直徑的圓經(jīng)過點E，因此可以得到：

$$SD=SE=SB$$

其中，$SB=BC/2=AD/4$，所以我們可以得到：

$$SD=\dfrac{AD}{4}$$

因此，EM=SD，由勾股定理得到：

$$DE=\sqrt{EM^2+ED^2}=√\dfrac{3}{16}AD^2=√\dfrac{3}{16}BC^2$$

因此，線段DE的長度為$\dfrac{\sqrt{3}}{4}AC$。

題目9：如圖，在正方形ABCD中，以AB為直徑，畫一個圓。設(shè)E是圓上一點，求AE與DE的長度比。

如上圖所示，以AB為直徑的圓與正方形ABCD相交于點E。我們需要求解線段AE與DE的長度比。

首先，根據(jù)勾股定理得到：

$$AD=BD=\sqrt{2}×AB$$

對正方形的一條邊進(jìn)行平移，得到下圖：

如上圖所示，DH=AB，OI=EH=HD/2=AB/2，OL=DE=DI/2=AB/2。

因此，$AE=\sqrt{(OI+OL)^2+IL^2}=√2×OI=AB$，$DE=AB/2$，所以AE與DE的長度比為2：1。

題目10：兩個大小不一的正方形外切，大正方形的邊長是10 cm，求小正方形的面積。

如上圖所示，大正方形邊長為10 cm，小正方形外切于大正方形。設(shè)小正方形的邊長為x，由于小正方形外切于大正方形，因此兩個正方形的對角線是共線的。

由勾股定理可得，大正方形的對角線長度為$10×\sqrt{2}$ cm。另外，可以得到小正方形對角線長度為$x×\sqrt{2}$ cm，因為小正方形的對角線即為大正方形對角線去掉兩個角上的長度（即大正方形的邊長）。

因此，根據(jù)題意可得：

$$x=\dfrac{10}{\sqrt{2}+1}=5.07$$

因此，小正方形的面積為$x^2=25.7$ 平方厘米。